*** Intérêts composés ou intérêts simples ?

Rappels

Les intérêts reposent sur le système suivant : on dépose une somme d’argent sur un compte, et chaque année, à la même date, la banque y ajoute une somme d'argent supplémentaire. On distingue deux grands types d'intérêts :

• les intérêts dits simples : ils sont calculés uniquement sur la somme initiale, et le montant des gains annuels reste fixe tout au long du placement. Par exemple, on gagnera tous les ans \(100\) €. Ainsi, si on place \(1~000\) €, on aura \(1~100\) € un an après et ainsi de suite ;
  
• les intérêts composés : ils s’ajoutent au capital initial et produisent eux-mêmes des intérêts les années suivantes. Ils se calculent à l'aide d'un coefficient multiplicateur. Par exemple, si l'on dépose \(1~000\) € sur un livret A avec un taux d’intérêt de \(2\) \(\%\), le solde après un an sera de \(1~020\) € car, augmenter de \(2~\%\), c'est multiplier par \(\left(1+\dfrac{2}{100}\right)=1{,}02\). L’année suivante, les \(2~\%\) seront appliqués sur \(1~020\) €, et non sur les \(1~000\) € initiaux et ainsi de suite.

Énoncé

On dépose \(5~500\) € sur un compte en \(2020\). Les intérêts composés s'élèvent chaque année à \(2{,}5~\%\). On note \(u_n\) la somme d'argent sur le compte après \(n\) années. Ainsi, par exemple, \(u_2\) représente la somme d'argent présente sur le compte en \(2020+2=2022\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) pour tout \(n\) entier naturel.
3. À l'aide de la calculatrice, déterminer la somme d'argent sur le compte en \(2030\).
4. Une autre banque propose la solution suivante : un intérêt annuel simple de \(153\) €.
De la même manière que ci-dessus, on note \((v_n)\) la suite donnant la somme d'argent sur le compte après \(n\) années pour la deuxième solution. On dépose toujours au départ \(5~500\) €.
    a. Reprendre les questions 1., 2. et 3. pour la suite \((v_n)\).
    b. Quelle est la meilleure solution au bout de \(5\) années ? Justifier.
    c. Même question au bout de \(10\) années.